Двама пешеходци вървели един след друг по път, успореден на железопътна линия. Влак настига задния пешеходец и преминава край него за 10 секунди. След 20 минути влакът настига предния пешеходец и преминава покрай него за 9 секунди. Колко време, след като влакът е изпреварил предния пешеходец, задният ще го настигне?
Ето как разсъждавам:
v1- скорост на първия пътник А
v2- скорост на втория пътник С
v3- скорост на влака В
L- дължина на влака
Х- път, изминат от втория пътник С от момента на изпреварването му от влака, до момента, в който е бил настигнат от А
S1- път, изминат от А за 10 секунди (докато влакът го изпреварва)
S2- път, изминат от С за 9 секунди (докато влакът го изпреварва)
Влакът изпреварва първия пътник за 10s, като началната му точка изминава път, равен на пътя S1 (изминат от А) плюс собствената си дължина L.
Времената на А и на В са едни и същи. Така се получава равенството:
10 секунди = S1 : v1 = (S1 + L) : v3 =>
v3 = ((S1 + L) . v1) : S1 = (S1 . v1) : S1 + ( L . v1) : S1 = v1 + L : (S1 : v1) = v1 + L : 10
или
v3 = v1 + L : 10 (1)
С аналогично разсъждение: влакът изпреварва втория пътник С за 9s, като изминава път, равен на пътя S2 (изминат от С) плюс собствената си дължина L.
Времената на C и на В са едни и същи. Така се получава равенството:
9 секунди = S2 : v2 = (S2 + L) : v3 =>
v3 = ((S2 + L) . v2) : S2 = (S2 . v2) : S2 + ( L . v2) : S2 = v2 + L : (S2 : v2) = v2 + L : 9
или
v3 = v2 + L : 9 (2)
От (1) и (2) следва, че:
v1 + L : 10 = v2 + L : 9 => v2 = v1 + L : 10 - L : 9 = v1 - L : 90
или
v2 = v1 - L : 90 (3)
От момента, в който влакът изпреварва втория пътник С и „излиза” от задачата, до момента в който А настига С (това е времето, което се търси):
1. пътят, който е изминал първият пътник А, е равен на:
сбора от а) пътя, който е изминал А от точката, в която е бил в момента, когато влакът е изпреварил С до точката, в която се е намирал С в момента, когато е бил изпреварен от влака и б) пътя Х
а горното е равно на:
(Пътя, който е изминал влакът от изпреварването на А до изпреварването на С, т.е. като се е движил общо (20.60+9) секунди, минус L) – (Пътя, който е изминал А за 20-те минути и 9 секунди минус дължината на влака L) + (пътя Х)
(Нарисувайте си го за по-голяма яснота, аз не знам как може да се чертае тук)
2. Пътят на пътник С е Х
3. Времената на пътник А и пътник С са равни.
Тогава от формулата t=S:v и казаното в точки 1. и 2. правим следното равенство:
((20.60+9).v3 - L– ((20.60+9).v1 –L)+ X):v1 = X:v2 <=>
((20.60+9).(v1 + L :10) – L – (20.60+9).v1 + L + X):v1 = X:v2 <=>
((20.60+9).v1 +(20.60+9).L:10 - L – (20.60+9).v1 +L + X):v1 = X:v2 <=>
(1209.L:10 + X):v1 = X:v2 <=>
(1209.L:10 + X).v2 = X.v1 <=>
v2.1209.L:10 + X.v2 = X.v1 <=>
v2.1209.L:10 = X.v1 - X.v2 <=>
v2.1209.L:10 = X.(v1 - v2) <=>
v2.1209.L:10 = X.(v1 – (v1 – L:90) <=>
v2.1209.L:10 = X.(v1 – v1 + L:90) <=>
v2.1209.L:10 = X.(L:90) <=>
v2.9.1209.L = X.L <=>
v2.9.1209 = X <=>
И така се получава, че търсеното време е 1209.9 секунди, което е 3 часа, 1 минута и 21 секунди. (възможно е да има някъде грешка в изчисленията, не са проверявани. Ако на някой му се занимава- нека да опрости решението).